یک سیستم تخصیص منابع هوشمند بر مبنای OFDMA در یک سیستم بیسیم توزیع شده با استفاده از تئوری بازیها

Transcript

1 یک سیستم تخصیص منابع هوشمند بر مبنای OFDMA در یک سیستم بیسیم توزیع شده با استفاده از تئوری بازیها حامد رشیدی 1 و سیامک طالبی 2 1 -دانشگاه شهید باهنر كرمان 2 -دانشگاه شهید باهنر كرمان Hamed.hrt@gmail.com حامد رشیدی چکیده: در این مقاله قصد داریم به تقسیم بندی زیرباندهای فرکانسی یک شبکه OFDMA بین کاربران بی سیم توزیع شده در یک سلول مخابراتی بپردازیم. روش مورد استفاده برای این منظور تئوری بازیها می باشد. ابتدا باتوجه به بیشینه توان قابل استفاده و تعداد بازیگران نزدیک به هر بازیگر تعداد زیرکانال ها و نوع مدالسیون هر بازیگر مشخص می شود. سپس با تعریف یک بازی پتانسیل تضمین می کنیم که دنباله بهترین پاسخ ها به توزیع بهینه زیرکانال ها بین بازیگران همگرا شود. شبیه سازی های انجام شده بیان کننده کارایی الگوریتم پیشنهادی در توزیع بهینه کانال می باشد. نتایج مقایسه این روش با روشهای مشابه نشان دهنده افرایش نرخ ارسال در این روش است. كلید واژه- تخصیص كانال مدالسیون هوشمند نظریه بازی ها OFDMA 1- معرفی: با فراگیر شدن ابزارهای مخابراتی بی سیم و نیاز روز افزون به پهنای باند در ارتباطات مخابراتی لزوم استفاده بهینه تر از طیف مخابراتی امری گریز ناپذیر است. امروزه بیشتر طیف فرکانسی قابل استفاده به صورت معین تقسیم بندی شده و بهره وری کمی را در این باندها شاهدیم. به نحوی که اندازه گیری ها نشان داده ممکن است تا 57 از این محدوده بدون استفاده باشد] 1 [. در حالی که پهنای باند آزاد bands( )unlicensed ازدحام بیش از حدی را تجربه می کنند. از این رو مفهوم جدیدی به عنوان دسترسی فرکانسی متغیر access( )dynamic spectrum ]2[ بوجود آمده که در آن کاربرهای توزیع شده به کمک تکنیکهای رادیوی هوشمند radio( )Cognitive ]3[ و به صورتی فرصت طلبانه از یک باند فرکانسی مشترک استفاده می کنند. یکی از روشهای دسترسی چندگانه )multiple-access( ]4[ OFDMA است که به علت خواص منحصر به فردش مورد توجه روزافزون قرار گرفته است. در OFDMA پهنای باند موجود به چندین زیر باند کوچکتر شکسته می شود که عرض هر کدام کمتر از پهنای باند همبسته کانال ( Coherence )bandwidth است. اطالعات به صورت موازی در این زیر کانال ها که هر کدام ضریب محوشدگی) fading ( متفاوتی را تجربه می کنند ارسال شده و مزایای زیادی را از جمله سادگی جبران کننده ها استفاده از چند مسیری )divercity( و امکان دسترسی چندگانه را فراهم می کند. به این ترتیب هر کاربر بنا به نیاز خود و محدودیت های موجود می تواند یک یا چند عدد از زیر کانال ها را مورد استفاده قرار دهد. چگونگی استفاده کاربرهای متفاوت از زیر کانال های ایجاد شده و حرکت به سمت توزیع بهینه نیازمند ابزار مدیریتی قدرتمندی است که بتواند استفاده بهینه از بستر ایجاد شده را تضمین نماید. بعنوان مثال زیر کانال های مشترک می توانند توسط کاربرهایی که تداخل زیادی برای هم ایجاد نمی کنند استفاده شوند ولی این قاعده برای کاربران نزدیک به هم برقرار نیست.

2 نظریه بازی ها) theory )game ]7[ می تواند این ابزار مدیریتی را برای ما فراهم کند. نظریه بازی ها ابزاری است ریاضی برای بررسی رفتار بازیگرانی که در صدد بیشتر کردن پیشامد خودند در حالی که عمل هر بازیگر بر پیشامد سایر بازیگران تاثیر می گذارد. در حال حاضر ابزارهای مخابراتی توانایی به کار گرفته شدن با نرخ های ارسال متفاوت را پیدا کرده اند. به نحوی که یک کاربر به صورت هوشمند می تواند متناسب با نرخ بیت مورد نیاز نوع مدالسیون )مانند ) BPSK,QPSK,11QAM, 14QAM خود را انتخاب کند. با استفاده از این روش نرخ بیت کاربر به قیمت زیاد شدن توان ارسالی افزایش می یابد. با استفاده مناسب از این ابزار و در نظر گرفتن توازن )trade-off( نرخ بیت/توان می توان حداکثر استفاده را از پهنای باند موجود انجام داد. در [7-8] از نظریه بازی ها در سیستم های توزیع شده برای پیدا کردن یک تک باند فرکانسی خاص استفاده شده است. یکی از کارهای مهم انجام شده در این زمینه ]9[ است که برای تخصیص دادن بهترین زیرکانال ها به هر کاربر از بازیهای نوع پتانسیل استفاده می کند. در این مقاله ما سعی داریم یکی از نقیصه های اصلی ]9[ را که محدود بودن کاربرها به استفاده از یک نوع مدالسیون ثابت است را برطرف کنیم و بیشترین استفاده ممکن را از پهنای باند موجود ببریم. با تعیین تعداد زیر کانال های هر کاربر به شیوهای جدید و انجام یک بازی تکراری سیستم به توزیع بهینهی خود همگرا می شود. در نهایت با مدل سازی بازی معرفی شده نشان می دهیم که الگوریتم پیشنهادی نرخ ارسال نزدیکتر به تقاضای کاربرها را در مقایسه با آنچه ]9[ عرضه می کند در اختیار کاربران قرار می دهد. در ادامه مقاله در بخش دوم مدل سیستم و فرضیات مسئله تعریف می شوند. سپس در بخش سوم ضمن معرفی اجمالی نظریه بازی ها الگوریتم پیشنهادی معرفی می شود. در بخش چهارم نتایج حاصل از شبیه سازی ارائه شده و در نهایت به نتیجه گیری می پردازیم. 2- مدل سیستم دهیم. در این قسمت ما ابتدا تعریفی دقیق تر از سیستم بی سیم توزیع شده مورد نظرمان را ارائه کرده سپس مدل ریاضی و فرمول های مربوط به تخصیص کانال را ارائه می مدل مورد نظر ما سلولی به شعاع r است که N کاربر به صورت تصادفی در آن قرار گرفته اند. هر کاربر متشکل از یک فرستنده و گیرنده رادیویی است که نسبت به شعاع سلول در فاصله نسبتا کمی از هم قرار گرفته اند. شکل 1 مثالی از این توزیع را نشان می دهد. شکل 1 : یک مثال از سیستم بیسیم توزیع شده و موقعیت كاربران نسبت به هم پهنای باند موجود برای استفاده کاربران شامل K زیرکانال است که کاربران برای تصاحب کردن آنها با هم رقابت دارند. از آنجا که در این مدل فرض شده که هر فرستنده و گیرنده در فاصله نسبتا کمی از هم قرار دارند سطح توان ارسالی آنها پایین بوده و اجازه می دهد که در نقطه ای دورتر از آنها زیر کانال مورد استفاده قابلیت استفاده مجدد را بدون ایجاد تداخل زیاد داشته باشد. بنابراین برای این مسئله شرط N>K می تواند قابل قبول باشد. در اولین قدم ماتریس D که ماتریس فاصله نامیده می شود را به این شکل تعریف می کنیم: d i,j مولفه های ماتریس فاصله بین فرستنده i ما و گیرنده jام را نشان می دهند. ماتریس تخصیص زیرکانال ها A نشان می دهد هر کاربر در هر مرحله از بازی کدام فرکانس ها را انتخاب کرده است. هرکدام از عناصر A i,k {1,0} a که 1 نشان می دهد بازیگر iام درحال استفاده از زیرکانال kام و 0 نشان دهنده عدم استفاده از زیرکانال توسط این کاربر است. بنابراین می توان وضعیت T فرکانسی هر بازیگر را با a i نشان داد که سطر i ام از ماتریس A است. قدم بعدی تعریف ماتریس بهره G R N N K است که در آن هر ماتریس توان P را که نشان دهنده توان ارسالی هر کاربر در فرکانس های مختلف است را تعریف می کنیم. i,k p k g i,j نشان دهنده بهره بین فرستنده iام و گیرنده jام در فرکانس k ام است. در نهایت نشان دهنده توان ارسالی فرستنده iام در فرکانس

3 T p i است. هر کدام از سطرهای این ماتریس که با kام توان ارسالی کاربر دست خواهد آمد. (1) P-Max(i) کمتر باشد. مشخص می شود توزیع توان هر بازیگر را نشان می دهد که باید نامنفی بوده و مجموع عناصر آن از بیشینه پس از مشخص شدن تعداد زیر باندهای هر بازیگر که در قسمت های بعد توضیح داده خواهد شد توان ارسالی هر بازیگر در هر مرحله از بازی از رابطه زیر به P(i, k) = min{σ 2 μ γ(mod) g ii k, P_Max(i)/K i } در رابطه فوق σ 2 چگالی توان نویز μ حاشیه امنیت توان و γ(mod) SINR مورد نیاز برای مدالسیون مورد استفاده است. نکته مهم در این رابطه این است که سعی شده حداقل توانی که بتواند SINR در خواستی در گیرنده را ایجاد کند استفاده شود. دو دلیل مهم این تصمیم این است که اوال این دستگاه ها توان محدودی داشته و سعی می کنند تا به بهینه ترین شکل توان خود را مصرف کنند. دلیل دوم این است که افزایش توان ارسالی هر بازیگر باعث افزایش تداخل برای سایر بازیگران می شود و عملکرد کلی سیستم کاهش می یابد. 3- الگوریتم پیشنهادی در این قسمت ما ابتدا یک معرفی اجمالی بر نظریه بازی ها و اجزای تشکیل دهنده هر بازی را ارائه می دهیم و سپس نوع و عناصر بازی مورد استفاده در این مقاله را بیان کرده و در نهایت روش تخصیص تعداد زیرکانال به کاربران را ارائه می دهیم نظریه بازی ها نظریه بازی ها یک ابزار ریاضی است که به بررسی نحوه تصمیم گیری و رفتار بازیگرها در محیطی می پردازد که نتیجه بدست آمده توسط هر بازیگر عالوه بر تصمیمات خود بازیگر به رفتار و اعمال سایر بازیگران نیز بستگی دارد. محیطی که در آن هر بازیگر می خواهد بیشترین پیامد ممکن را نصیب خود کند در حالی که ممکن است منافع بازیگران متفاوت در تضاد با هم باشد. نظریه بازیها ابتدا در اقتصاد مطرح شده و با گذشت زمان در سایر علوم هم مورد استفاده قرار گرفته است. در مخابرات بیسیم هم این نظریه کاربردهای زیادی دارد که یکی از مهمترین آنها تخصیص منابع است [10-12]. مسائلی که بازیگرهای متفاوت برای بدست آوردن منابع محدود موجود مثل توان باند فرکانسی و... با هم رقابت می کنند. شاید بتوان در حالتی ساده تئوری بازی ها را به عنوان یک نوع روش بهینه سازی مطرح کرد البته بهینه کردنی که در آن نه تنها تصمیمات خود بازیگر بلکه تصمیمات سایر بازیکنان نیز در آن تاثیر دارد. هر بازی از سه عنصر بازیکنان استراتژی و پیامد بازیکنان تشکیل شده است. در بازی هر بازیکن از مجموعه ای از استراتژی های موجود یک استراتژی خاص را انتخاب کرده سپس متناسب با استراتژی انتخاب شده خود و دیگر بازیکنان یک پیامد خاص را بدست می آورد. یکی از چالش های هر بازی پیدا کردن نقاط تعادل برای بازی است. به این مفهوم که با تحلیل بازی بتوان نقطه ای از بازی )مجموعه استراتژی همه بازیگران( را پیدا کرد که بازی به آن همگرا می شود. یکی از مهمترین تعریف ها برای تعادل بازی تعادل نش است. طبق تعریف تعادل نش در بازی یک حالت خاص از بازی است که هیچ بازیگری با تغییر بازی خود به صورت خودسرانه )با ثابت ماندن بازی بقیه بازیگران( نتواند پیامد بیشتری کسب کند. هر بازی ممکن است بنا به نوع تعریف بازی تعادل نش نداشته باشد یا یک و حتی چند تعادل نش داشته باشد بازی پیشنهادی بازیگر در بازی مورد استفاده این مقاله مجموعه بازیگران بازی همان P={1 2,.,N} فرستنده وگیرنده های توزیع شده در سلول هستند. مجموعه استراتژی های هر زیر کانال هایی است که می تواند انتخاب کند و در گذشته آن را به صورت a T i نشان دادیم. پس S i=a t i که اعضای آن از مجموعه }0 1{ انتخاب می شوند. استراتژی پیوسته سایر بازیگران به جز بازیگر iام با S i- نشان داده می شود بنابراین {i- S={S,i S استراتژی همه بازیگران را نشان می دهد. تابع پیامد هر بازیگر به صورت زیر بوده که در واقع مجموع تداخل ایجاد شده برای بازیگر iام توسط سایر بازیگران و تداخل ایجاد شده برای سایر بازیگران توسط بازیگر iام است

4 K N U i (S) = (p jk g k ji + p ik g k ij ). k=1 j=1 (2) F(S (i- و F(S) را میتوان به صورت حاصل جمع U i(s) نوشت )3( که F(S) برای همه بازیگران یکسان و وابستگی دارد. هر بازی که بتوان تابع پیامد آن را به این صورت نوشت بازی پتانسیل بوده و دارای تعادل نش یکتاست[ 13 ]. F(S -i) فقط به استراتژی سایر بازیگران N K U i (s) = 1/2 [ (p jk g k jl + p ik g k lj ) N l=1 k=1 j=1 N K N + (p jk g k jl + p ik g k lj )] = F(S) + F(S i ) l=1,l i k=1 j=1,j i (3) نحوه انجام بازی به این صورت است که با ترتیبی که از قبل مشخص شده در هر مرحله یکی از بازیکنان باتوجه به بازی سایر بازیگران بهترین پاسخ خود را از بین استراتژی های ممکن انتخاب می کند سپس بازیگر بعدی با توجه به بازی جدید سایرین همین عمل را انجام می دهد. این اتفاق تا جایی ادامه پیدا می کند که بازی به تعادل نش همگرا شود. نکته قابل توجه در تابع باال این است که اگر هر بازیکن کامال در انتخاب استراژی خود آزاد باشد انتخاب بهینه معادل ارسال نکردن هیچگونه اطالعاتی خواهد شد که انتخاب مطلوبی نیست. پس باید شرایطی را به مسئله اعمال کنیم که از این کار جلوگیری کند. شرط استفاده شده در اینجا این است که قبل از شروع بازی تعداد زیر باندهای هر بازیگر را معین کنیم و هر بازیگر فقط بهترین فرکانس ها را برای خود انتخاب کند نه تعداد آن ها را مشخص کردن تعداد زیر باندها و نوع مدالسیون بازیگران در این قسمت قصد داریم با توجه به شرایط هر بازیگر تعداد زیر باندها و نوع مدالسیون اختصاص یافته به آن را مشخص کنیم. عوامل موثر در به دست آمدن این پارامترها عبارتند از تعداد زیر کانال های موجود پهنای باند هر زیر کانال توان قابل مصرف در هر فرستنده تعداد همسایه های هر بازیگر و نرخ ارسالی درخواستی هر بازیگر. منظور از تعداد همسایه های هر بازیگر تعداد بازیگرهایی است که در فاصله ای از بازیگر مورد نظر هستند که عمال استفاده مشترک آن ها از یک زیر باند به علت سطح آستانه SINR ممکن نیست. به منظور به دست آوردن همسایه های هر بازیگر باید یک شعاع همسایگی حول بازیگر به دست آورد که هر بازیگر موجود در آن شعاع همسایه قلمداد می شود. با ساده سازی هایی از قبیل در نظر نگرفتن محوشدگی و برابر در نظر گرفتن توان کاری هر بازیگر می توان شعاع همسایگی را به شکل زیر به دست آورد که در آن SINR γ i درخواستی هر بازیگر و λ ثابت تضعیف کانال می باشد. r i = d ii (γ i ) 1 λ (4) ماتریس C را به عنوان ماتریس همسایگی تعریف می کنیم که اعضای آن c ij و c ji در صورت همسایه حساب شدن دو بازیگرi و j به معنی قرار گرفتن هر کدام در شعاع همگرایی دیگری برابر 1 خواهند بود. در واقع مجموع عناصر موجود در هر سطر ماتریس C تعداد همسایه های این بازیگر را نشان می دهد. هر وقت چند بازیگر با هم همسایه باشند تعداد زیر کانال های قابل استفاده آن ها کاهش می یابد. برای افزایش نرخ ارسال اطالعات با ثابت نگه داشتن خطا زیاد کردن پهنای باند افزایش توان کمتری نسبت به تغییر دادن نوع مدالسیون دارد. بنابراین در حالتی که محدودیت تعداد زیر کانال نباشد بازیگران ترجیح می دهند با ثابت نگهداشتن نوع مدالسیون خود در کوچکترین حد ممکن برای افزایش نرخ ارسال خود تعداد زیر کانال بیشتری را مورد استفاده قرار دهند. این نوع استراتژی تا جایی کارایی دارد که تعداد زیر کانال های قابل استفاده زیاد باشد ولی در حالتی که چند بازیگر با هم همسایه شوند محدودیت در به تصاحب در آوردن زیر کانال ها رخ می دهد. بنابراین در این حالت بازیگرانی که توان کافی تغییر دادن نوع مدالسیون خود را دارند باید به 1 زیر کانال اکتفا کرده و نرخ ارسال خود را با تغییر دادن نوع مدالسیون زیاد کنند. با این استراتژی بازیگران با میزان توان کمتر سهم بیشتری از پهنای باند را نصیب خود کرده و می توانند نرخ ارسال خود را به مقدار مورد نیازشان نزدیکتر کنند. به منظور نشان دادن توانایی ارسال با مدالسیون های متفاوت برای هر بازیگر متغییر P-mod را تعریف می کنیم که نشان می دهد هر کاربر در بدترین حالت ممکن )دارا بودن تنها یک زیرکانال( از چه نوع مدالسیونی استفاده خواهد کرد. P-mod از شبه کد زیر به دست می آید: P-mod(i)=1

5 درصورت قابل استفاده بودن M نوع مدالسیون متفاوت برای کاربران p-mod(i) می تواند if P-Max(i) P-need(2)&bitrate-req(i) bitrate(2) P-mod(i)=2 if P-Max(i) P-need(3)&bitrate-req(i) bitrate(3) مینیمم P-mod(i)=3 مقادیر 1 تا M را بپذیرد. در عبارت باال P-need(i) توان مورد نیاز جهت داشتن خطای قابل قبول برای مدالسیون مورد نظر و bitrate(i) نرخ ارسال قابل دستیابی با استفاده از مدالسیون مذکور است. در نهایت بازیگرهایی که هیچ همسایه ای ندارند تعداد زیر کانال خود را از رابطه زیر به دست می اورند. K i = bitrate_req(i)/bitrate(1) (5) قابل ذکر است که به صورت کلی فرض شده نرخ ارسال مورد تقاضای هر بازیگر در محدوده ای است که اگر همسایه ای نداشته باشد با توجه به تعداد زیر کانال های موجود با ساده ترین نوع مدالسیون خود می تواند تقاضای خود را برآورده کند و توان مورد نیاز برای این عمل را هم در اختیار دارد. در همسایگی ها برای mod=1 دارند تقسیم می شوند. بازیگرانی که P-mod>1 دارند فقط یک زیر کانال در نظر گرفته می شود و سایر زیر باندهای موجود بین همسایگانی که -P در نهایت Mod(i) مدالسیون مورد استفاده نهایی هر بازیگر را مشخص کرده و به وسیله شبه کد زیر قابل محاسبه است. if player(i) is in a neighborhood Mod(i)=P-mod(i) else Mod(i)=1 4- شبیه سازی در این قسمت نتایج بدست آمده از مدل سازی الگوریتم پیشنهادی را ارائه داده و به تحلیل نتایج حاصل از آن می پردازیم. تعداد 20 بازیگر و 7 زیرکانال برای شبیه سازی در نظر گرفته شده است. نرخ بیت مورد تقاضای هر بازیکر به صورت تصادفی بین 40 تا kb/sec 200 انتخاب شده است. مدالسیون های مورد استفتاده 11QAM, 32QAM, و 14QAM بوده بنابراین با استفاده از هر یک از این مودالسیون ها می توان از هر زیرکانال با پهنای باند 10kH به ترتیب به نرخ بیت های و kb/sec 061 دست یافت. سایر پارامترهای مورد استفاده برای شبیه سازی در نرم افزار MATLAB به نحوی که در جدول 1 آمده انتخاب شده اند. در شکل 2 قابل مشاهده است که پس از حدود 20 بار تکرار بازی به تعادل نش همگرا شده و بعد از آن دیگر میزان کل تداخل ثابت مانده. در شکل 3 نرخ بیت مورد تقاضای هر کاربر نرخ بیت اختصاص یافته به کاربر توسط الگوریتم ارائه شده در این مقاله و نرخ بیت اختصاص یافته به کاربر توسط [9] قابل مشاهده هستند. واضح است که نرخ بیت اختصاص یافته به کاربران توسط الگوریتم ارائه شده در این مقاله به طرز چشمگیری افزایش داشته است. جدول 1: پارامترهای مورد استفاده برای شبیه سازی پارامتر تعداد بازیگران N تعداد زیرکانال K شعاع سلول r ضریب تضعیف کانال λ چگالی توان نویز σ 2 پهنای باند هر زیرکانای B سطح خطای مورد قبول مقدار km kHz 10-7

6 3dB حاشیه امنیت توان P-mod شکل 2 : مقدار تابع پتانسیل در هر مرحله از بازی 5- نتیجه گیری نیاز روز افزون به ابزارهای مخابراتی لزوم استفاده بهینه از پهنای باند مخابراتی را به دنبال می آورد. به این ترتیب اهمیت راهکارهایی که بتوانند با کمترین پهنای باند ممکن بیشترین سرویس را در اختیار کاربران قرار دهند روشن می شود. در این مقاله روشی برای تقسیم باند فرکانسی بین کاربران توزیع شده در یک سلول مخابراتی با استفاده از تئوری بازی ها ارائه دادیم. همچنین با یک روش کنترل نوع مودالسیون سعی کردیم از پهنای باند تخصیص داده به هر کاربر بیشترین نرخ ارسال داده را بدست آوریم. شکل 4 : مقایسه نرخ بیت مورد تقاضا نرخ بیت اختصاص یافته توسط الگوریتم پیشنهادی این مقاله و نرخ بیت اختصاص یافته توسط [9]. نتایج شبیه سازی ها نشان دهنده ی همگرایی الگوریتم به توزیع بهینه و بدست آمدن نرخ ارسال بیشتر نسبت به الگوریتم های مشابه است.

7 6- مراجع [1] M. McHenry, Spectrum white space measurement, in Presentation New America Found. Broadband Forum, Jun [2] I. F. Akyildiz, W.-Y. Lee, M. C. Vuran, and S. Mohanty, Next generation/dynamic spectrum access/cognitive radio wireless networks: A survey, Comput. Netw., vol. 70, no. 13, pp , Sep [3] S. Haykin, Cognitive radio: Brain-empowered wireless communications, IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. 23, no. 2, pp , Feb [4] R. Van Nee and R. Prasad, OFDM for Wireless Multimedia Communications. Norwell, MA: Artech House, [7] N. Nie and C. Comaniciu, Adaptive channel allocation spectrum etiquette for cognitive radio networks, Mobile Netw. Appl., vol. 11, no. 1, pp , Dec [1] L. Cao and H. Zheng, Distributed rule-regulated spectrum sharing, IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. 21, no. 1, pp , Jan [5] Y. Xing, C. N. Mathur, M. A. Haleem, R. Chandramouli, and K. P. Subbalakshmi, Dynamic spectrum access with QoS and interference temperature constraints, IEEE Trans. Mobile Comput., vol. 1, no. 4, pp , Apr [8] R. Etkin, A. Parekh, and D. Tse, Spectrum sharing for unlicensed bands, IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. 27, no. 3, pp , Apr [9] Quang Duy La, Yong Huat Chew, Boon Hee Soong, An Interference-Minimization Potential Game for OFDMA-Based Distributed Spectrum Sharing Systems IEEE Tran.s on Vehicular Technology, VOL. 10, NO. 5, SEPTEMBER 2011 [10] A. A. Lazar, A. Orda, and D. E. Pendarakis, Virtual path bandwidth allocation in multi-user networks, in Proceedings of IEEE INFOCOM, 1997, pp [11] Y. Qiu and P. Marbach, Bandwidth allocation in ad hoc networks: A price-based approach, in Proceedings of IEEE INFOCOM, vol. 2, 2003, pp [12] Y. Xue, B. Li, and K. Nahrstedt, Price based resource allocation in wireless ad hoc networks, in Proceedings of 11th International Workshop on Quality of Service, ] Allen B. MacKenzie, Luiz A. DaSilva, Game Theory for Wireless Engineers. Morgan&Claypool Publishers, 2001